统计学基础

概率、频率与小概率事件

随机事件：随机现象某个可能的观察结果称为一个随机事件
频率：观察到的随机事件某个结局的出现频次/比例，可以被直接观察到
概率：概率刻画随机事件发生的可能性，其取值介于0到1之间。不能被直接观察到，但是可以通过频率估计，实验次数越多，估计越准确

正态分布

正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布，是一种在统计学中最常见的概率分布。它描述了一种对称的、钟形的分布模式，常用于描述自然现象中的连续变量。

其概率密度函数定义如下

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \]

$ \mu $：均值，表示分布的中心位置。
$ \sigma $：标准差，表示数据的离散程度。
$ \sigma^2 $：方差，表示数据的波动范围。

正态分布的特征指标：

(1) 均值（Mean, $\mu$) 均值是数据分布的中心点。正态分布的均值决定了分布的位置 $$ \mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i $$

(2) 方差（Variance, $\sigma^2$）方差表示数据与均值的偏离程度，是衡量数据离散程度的指标。 $$ \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 $$

(3) 标准差（Standard Deviation, $\sigma$）) 标准差是方差的平方根 $$ \sigma = \sqrt{\sigma^2} $$

正态分布的标准化

标准正态分布是正态分布的特例，其均值为0，标准差为1。任何正态分布随机变量 $ X $ 都可以通过以下公式标准化为标准正态分布：

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

Note

(1) 68-95-99.7 法则: 在正态分布中： - 约 68% 的数据落在 ( $\mu \pm \sigma$ ) 之间。 - 约 95% 的数据落在 ( $\mu \pm 2\sigma$ ) 之间。 - 约 99.7% 的数据落在 ( $\mu \pm 3\sigma$ ) 之间。

(2) 对称性: 正态分布关于均值 ( $\mu$ ) 对称：

\[ P(X \leq \mu - a) = P(X \geq \mu + a) \]