统计学基础

概率、频率与小概率事件

• 随机事件：随机现象某个可能的观察结果称为一个随机事件

• 频率：观察到的随机事件某个结局的出现频次/比例，可以被直接观察到

• 概率：概率刻画随机事件发生的可能性，其取值介于0到1之间。不能被直接观察到，但是可以通过频率估计，实验次数越多，估计越准确

正态分布

正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布，是一种在统计学中最常见的概率分布。它描述了一种对称的、钟形的分布模式，常用于描述自然现象中的连续变量。

其概率密度函数定义如下

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

• $\mu$：均值，表示分布的中心位置。

• $\sigma$：标准差，表示数据的离散程度。

• $\sigma^2$：方差，表示数据的波动范围。

正态分布的特征指标：

(1) 均值（Mean, $\mu$) 均值是数据分布的中心点。正态分布的均值决定了分布的位置 $$\mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$

(2) 方差（Variance, ${\sigma }^2$）方差表示数据与均值的偏离程度，是衡量数据离散程度的指标。 $$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2$$

(3) 标准差（Standard Deviation, $\sigma$）) 标准差是方差的平方根 $$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$$

正态分布的标准化

标准正态分布是正态分布的特例，其均值为0，标准差为1。任何正态分布随机变量 $X$ 都可以通过以下公式标准化为标准正态分布：

$$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$$

Note

(1) 68-95-99.7 法则: 在正态分布中： - 约 68% 的数据落在 ( $\mu \pm \sigma$ ) 之间。 - 约 95% 的数据落在 ( $\mu \pm 2\sigma$ ) 之间。 - 约 99.7% 的数据落在 ( $\mu \pm 3\sigma$ ) 之间。

(2) 对称性: 正态分布关于均值 ( $\mu$ ) 对称：

$$P(X\le \mu -a)=P(X\ge \mu +a)$$